《算法笔记》学习日记——5.5 质因子分解

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发布时间：2019-02-28

本文共 3929 字，大约阅读时间需要 13 分钟。

5.5 质因子分解

问题 A: 完数

题目描述

求1-n内的完数，所谓的完数是这样的数，它的所有因子相加等于它自身，比如6有3个因子1,2,3,1+2+3=6，那么6是完数。即完数是等于其所有因子相加和的数。

输入

测试数据有多组，输入n，n数据范围不大。

输出

对于每组输入,请输出1-n内所有的完数。如有案例输出有多个数字，用空格隔开，输出最后不要有多余的空格。

样例输入

样例输出

思路

这题似乎在学Python的时候也做过？？（大概），总之也是很简单的思路，因为这里是因子，不是质因子，所以对每个1~n的数都寻找它的因子，每找到一个因子，就减去这个因子，如果找完所有因子之后，那个数被减为0，就说明这个数正好是个完数，于是输出即可。

最后记得要控制空格的输出，如果是第一个数，就直接输出，如果是后面的数（第二第三个）就先输出一个空格，再输出数。

代码

#include
   
    #include
    
     #include
     
      #include
      
       #include
       
        #include
        
         using namespace std;int main(){ int n; while(scanf("%d", &n) != EOF){ int cnt = 0;//记录有几个完数 for(int i=1;i<=n;i++){ //对1~n进行遍历 int temp = i;//把i暂存在变量temp里 for(int j=1;j

问题 B: 完数

题目描述

输入

测试数据有多组，输入n，n数据范围不大。

输出

对于每组输入,请输出1-n内所有的完数。如有案例输出有多个数字，用空格隔开，输出最后不要有多余的空格。

样例输入

样例输出

思路

这题和问题A一模一样（是真的一模一样，除了问题A变成问题B了），代码也相同，这里就不说了。

代码

#include
   
    #include
    
     #include
     
      #include
      
       #include
       
        #include
        
         using namespace std;int main(){ int n; while(scanf("%d", &n) != EOF){ int cnt = 0;//记录有几个完数 for(int i=1;i<=n;i++){ //对1~n进行遍历 int temp = i;//把i暂存在变量temp里 for(int j=1;j

问题 C: 质因数的个数

题目描述

求正整数N(N>1)的质因数的个数。

相同的质因数需要重复计算。如120=2*2*2*3*5，共有5个质因数。

输入

可能有多组测试数据，每组测试数据的输入是一个正整数N，(1<N<10⁹)。

输出

对于每组数据，输出N的质因数的个数。

样例输入

样例输出

提示

注意1不是N的质因数；若N为质数，N是N的质因数。

思路

这题和书上的PAT A1059 Prime Factors几乎一样，而且PAT那道题给的是int范围的整数，这题还要小一点（int最大差不多到2×10⁹），所以肯定要先打素数表，然后再在while(!=EOF)里操作寻找质因子。

但是这里const int maxn又不能等于10⁹（编译器不会让你通过的），因为算法是质因子全部小于等于sqrt(n)，或者只有一个大于

\sqrt{n}

，而其他全小于等于

\sqrt{n}

，于是maxn的值只要比

\sqrt{10^9}

大一点即可，我这里直接跟书上一样写了100010。

代码

#include
   
    #include
    
     #include
     
      #include
      
       #include
       
        #include
        
         using namespace std;const int maxn = 100010;struct factor{ int number; int cnt;}fac[10];bool p[maxn] = { 0};int prime[maxn], pNum = 0;int main(){ for(int i=2;i

问题 D: 约数的个数

题目描述

输入n个整数,依次输出每个数的约数的个数。

输入

输入的第一行为N，即数组的个数(N<=1000)

接下来的1行包括N个整数，其中每个数的范围为(1<=Num<=1000000000)

当N=0时输入结束。

输出

可能有多组输入数据，对于每组输入数据，

输出N行，其中每一行对应上面的一个数的约数的个数。

样例输入

61 4 6 8 10 120

样例输出

思路

思路很简单，把输入的数存在一个数组里，然后遍历这个数组，对于每个数ni再从1到ni寻找它的约数个数。

但是要注意的一点是，这一题要进行算法上的优化，不然时间肯定是会超时的（两重for循环的时间复杂度是O(N²)，最大有10¹⁸），于是我的优化方法是参考了书上的想法，所有数的因子肯定是按照

\sqrt{n}

对称分布的，于是在寻找因子的时候，只要遍历到

\sqrt{n}

即可。但是这里要判断一下，如果这个因子和它的对称因子正好相等，那因子数量只加1（如4/2=2,2和2相等，只计1次），如果不相等，因子数量就加2（如6/2=3，说明2和3都是它的因子）。

代码

#include
   
    #include
    
     #include
     
      #include
      
       #include
       
        #include
        
         using namespace std;int tmp1[1001]={ 0};//存放输入的数 int tmp2[1001]={ 0};//存放每个数对应的因子数 int main(){ int N; while(scanf("%d", &N) != EOF){ if(N==0) break; for(int i=1;i<=N;i++) scanf("%d", &tmp1[i]); for(int i=1;i<=N;i++){ int cnt = 0; int sqr = (int)sqrt(1.0*tmp1[i]); for(int j=1;j<=sqr;j++){ if(tmp1[i]%j==0){ if(j!=tmp1[i]/j) cnt+=2;//找到一个因子对,数量加2 else cnt++;//如果两者相等,说明是同一个因子,数量加1 } } tmp2[i] = cnt; } for(int i=1;i<=N;i++) printf("%d\n", tmp2[i]); memset(tmp1, 0, sizeof(tmp1)); memset(tmp2, 0, sizeof(tmp2)); } return 0;}

问题 E: 完数与盈数

题目描述

一个数如果恰好等于它的各因子（该数本身除外）子和，如：6=3+2+1，则称其为“完数”；

若因子之和大于该数，则称其为“盈数”。求出2 到60 之间所有“完数”和“盈数”，并以如

下形式输出： E: e1 e2 e3 …(ei 为完数) G: g1 g2 g3 …(gi 为盈数)

输入

无

输出

按描述要求输出（注意EG后面的冒号之后有一个空格）。

思路

这题也很简单，和问题B差不多，不过这里要注意“盈数”的概念和格式输出。“盈数”指的是因子之和大于该数，也就是说还存在因子之和小于该数的数（比如4，它的因子1+2<4），而不是简单的不是“完数”则是“盈数”。另外，EG后面的冒号有一个空格之外，E组的最后一个数和字母G之间也有一个空格。

代码

#include
   
    #include
    
     #include
     
      #include
      
       #include
       
        #include
        
         using namespace std;int E[61], G[61], ENum = 0, GNum = 0;int main(){ for(int i=2;i<=60;i++){ //2~60的数 int temp = i; for(int j=1;j